De l’atome aux galaxies
I A Les unités de longueurs rappels
Suivant l’échelle, microscopique, humaine ou astronomique, on utilise des multiples ou des sous- multiples.
Les puissances de 10 :
Pour tout entier naturel n (et donc n>= 0 ), on a :
II Écriture scientifique d'un nombre.
Notation scientifique d'un nombre.
La notation scientifique est l'écriture d'un nombre sous la forme d'un produit du type: a.10n, où a est un nombre décimal tel que 1<a<10 et n un nombre entier positif ou négatif. Exemple: 1,52.104.
L'utilisation des puissances de 10 intervient dans l'écriture explicite en base 10 :
245,56 = 2 × 102 + 4 × 10 + 5 + 5 × 10-1 + 6 × 10-2
dans l'écriture scientifique des nombres décimaux : 245,56 est noté 2,4556× 102
245,56 : il faut décaler la virgule sur la gauche jusqu'à obtenir un seul chiffre différent de 0 : on décale la virgule de 2 chiffres vers la
gauche 245,56 = 2,4556 x 102 = 2,4556.102
0,00235 : il faut décaler la virgule vers la droite jusqu'à obtenir un nombre différent de zéro, ici on décale la virgule de 3 chiffres vers la
droite. 0,00235 = 2,35 / 1000 = 2,35 x 10-3 = 2,35.10-3
Exemples
750 = 75 x 10 = 7,5 x 100 = 7,50.102 on décale la virgule de 2 vers la gauche donc +2
0, 0083 = 8, 3.10−3
On dit qu'on décale la virgule de 3 chiffres vers la droite avant d'avoir un chiffre différent de 0 d'ou le -3.
Le mètre est l’unité légale de longueur. Son symbole est m.
Si on prend le centimètre son symbole est cm .Pour convertir en m, il faut penser à l'écriture, c'est-à-dire 1 cm → au 100ème de mètre d'où le
petit c ou encore 1 / 100 = 1/102 = 10-2m.On peut procéder de la même façon avec mm, qui signifie le millième du mètre 1 mm = 1 millième de mètre ou encore m / 1000 = m / 103 = 10-3m
Complétez le tableau suivant :
On peut écrire 0,00235 = 2,35 / 1000 -> 1/1000 = 1 / 103 = 10-3 0,00235 = 2,35 /1000 = 2,35 /103=2,35.10-3 =
voici une liste d'exemples :
diamètre de la terre 12756 km = 1,2756.104 km = 12756000 m = 1,2756.107m 1km=1000m=103m
diamètre de la lune 3474 km = 3,474.103 km = 3474000 m = 3,474.106 m
distance terre-soleil 149600000 km = …..……………… km = …………..………….m
diamètre du soleil 1391000 km …..……………… km = …………..………….m
Exemple : conversion de 125 nm en m1 nm = 10-9 m
125 nm = 125x10-9m
125 = 1,25.103
125 nm = 1,25.103x10-9 = 1,25 .103-9 = 1,25.10-6 m
Exprimez avec les puissances de 10, les longueurs suivantes en mètre :
250pm = ............ 37 μm =............
60 Gm =........... 0,2mm = ............
0,89 km =............ 0,00125 km =............
Ordre de grandeur.
L'ordre de grandeur d'une valeur est la puissance de dix la plus proche de cette valeur. a.10n
Si 1<a<5 -> 10n Si 5<a<10 -> 10n+1
Si le nombre est inférieur à 5 on prend 1 sinon on prend 10.
L’intérêt de l’ordre de grandeur est de mémoriser facilement certaines tailles ou distances caractéristiques.
Exemples:
Soit le nombre 1,52.104, son ordre de grandeur est 104. 1< 1,52 < 5 -> 1 ( 1,52.104 -> 1.104 = 104)
Soit le nombre 8,2.104, son ordre de grandeur est 105. 5< 8,2 < 10 -> 10 ( 8,2.104->10.104 = 105)
Soit le nombre 7,2.10-3, son ordre de grandeur est 10-2. 5 < 7,2 < 10 -> 10 ( 7,2.10-3 -> 101.10-3 = 101-3 = 10-2)
Exemples :
- L’ordre de grandeur de la distance Terre-Lune est de 108 mètres car la distance Terre-Lune est de 384 000 km = 3,84.105 km
3,84< 5 donc, on prend 1, ce qui donne 1.105 km = 100000 km (100 000 kilomètres = 100 000 000 mètres =108 mètres).
L’ordre de grandeur du diamètre d’un cheveux est de 10-4 mètres car un cheveux possède un diamètre d’environ 80 microns = 80.10-6 m = 8.10-5 m
5 < 8 < 10 , donc on prend 10, ce qui donne : 10.10-5 m = 10-4m
(le micron est égale à un millième de millimètre, donc100 microns = 0,0001 mètres = 10-4 mètre).
Chiffres significatifs.
1. Définition.
Les chiffres significatifs nous informent sur la valeur de la grandeur mesurée et sur la précision de cette mesure.
Dans l'écriture scientifique d'un nombre (a.10n) tous les chiffres servant à écrire le nombre décimal a sont significatifs.
1,5 il y a 2 chiffres significatifs
1,50 il y a 3 chiffres significatifs
1,05 il y a 3 chiffres significatifs
0,00125 , il faut écrire en notation scientifique : 1,25.10-3, il y a 3 chiffres significatifs
La présentation du résultat d'un calcul.
Il ne peut pas y avoir plus de chiffres significatifs que celui qui en comporte le moins.
Exemples pour la multiplication :
Multiplication ou division
Un
produit ou un quotient ne peut être plus précis que la donnée sur laquelle l’incertitude relative est la plus élevée (celle qui a le
moins de chiffres significatifs) Le résultat d’une multiplication ou d’une division est arrondi à autant de chiffres significatifs que la
donnée qui en compte le moins
3,25 x 1,5 = 4,875
3,25 à 3 chiffres significatifs
1,5 à 2 chiffres significatifs
Le résultat ne peut pas avoir plus de 2 chiffres significatifs, on écrira 3,25 x 1,5 = 4,8 ou 3,25 x 1,5 = 4,9.
Addition ou soustraction
Une somme ou une différence ne peut être plus précise que la donnée sur laquelle l’incertitude absolue est la plus élevée(celle qui possède le
moins de décimales). Le résultat d’une somme ou d’une différence est arrondi au même nombre de décimales que la donnée qui en comporte le moins
Exemple:
100,3+25,05=125,35
On écrira 100,3+25,05=125,3 = 1,253.102 ou 100,3+25,05=125,4 = 1,254.102
car 100,3 ne comporte qu'une décimale (100,3) alors que 25,05 comporte 2 décimales (25,05)
Remarque:
100,35-100,20 = 0,15
La soustraction de valeurs proches conduit à une diminution importante du nombre de chiffres significatifs
Arrondir selon les règles
Lorsque le chiffre de rang le plus élevé qu'on laisse tomber est supérieur à 5, le chiffre précédent est augmenté de 1
Lorsque le chiffre de rang le plus élevé qu'on laisse tomber est inférieur à 5, le chiffre précédent reste inchangé
Lorsque le chiffre de rang le plus élevé qu'on laisse tomber est égal à 5, si un des chiffres qui le suivent n'est pas nul,
le chiffre précédent est augmenté de 1
10,66 s'arrondit à 10,7
10,64 s'arrondit à 10,6
10,6502 s'arrondit à 10,7
